“乘法分配律”教学尝试　　

在小学数学教材中，乘法分配律一课的教学一直受到许多数学教师的关注。因为教过这一课的老师常常有这样的感受：学生在新课学习时一般都会很顺利，但在综合练习时却容易和其他几个运算定律(特别是乘法结合律)相互混淆，以至于有的学生认为简便计算越学越难，还不如竖式计算更快捷。一般认为，这是由于学生在学习过程中对算式形式结构的机械记忆所致。如何改变这一状况？下面这节教研课的研究探索颇具代表性。　　

一、复习引入。　　

1、简要复习乘法的交换律和结合律。　　

2、引语激发学生探究乘法分配律的兴趣。　　

二、问题解决。　　

情境一：一个长方形，它的长是15厘米，宽是8厘米，它的周长是多少厘米?　　

情境二：一套童蓑的上表要58元，裙子要42元，买这样的3套服装应付多少钱？　　

情境三：一辆小轿车和一辆大客车同时从甲乙两地相对开出，4小时相遇，小轿车每小时行70千米，大客车每小时行50千米，甲乙两地相距多少千米?　　

1、引导学生用多种方法尝试解决这些问题。　　

2、反馈时问：这样列式你是怎么想的？　　

三、探索规律。　　

1、根据学生发言列出等式。　　

(15＋8)×2=15×2＋8×2　　

(58＋42)×3=58×3＋42×3　　

(70＋50)×4=70×4＋56×4　　

2、观察思考。　　

(1)仔细观察这三个等式，你有什幺发现?　　

(2)这样的算法以前用过吗?你能再举几个这样的例子吗?　　

3、反馈总结。　　

(1)集体交流。　　

(2)这样的等式写得完吗?能不能用一个等式来表示？　　

(a＋b) ×c=a×c＋b×c　　

a×(b＋c)=a×b＋a×c　　

(3)引导小结，揭示概念。　　

四、巩固运用。 　　

1．填空。　　

①(32＋25)×4=口×4＋口×4　　

②8×39＋8×61=□×(□＋□)　　

2、判断。　　

①56×(19＋28)=56×19＋28　　

②32×(7×3)=32×7＋32×3　　

以上是“乘法分配律”一课典型的教学设计，在实际教学中很多教师采用这样的设计，即借助问题情境理解运算意义——通过反复举例总结运算定理——设计专项练习巩固运算定律，过程流畅、气氛活跃。从练习的当堂反馈情况看，大多数同学能够正确解答，但其中有两个问题值得注意。其一，有部分同学在做判断题时显得不够自信，别是能够对自己的判断结果作出基于现实意义解释的同学并不多，有些同学只是从计算结果上进行比较。出现争论时学生之间往往一方无法说服另一方。其二，课堂的集体交流反馈掩盖了部分学生的真实学习状况，事实上有些学生在集体问答时只是人云亦云，表现在独立作业中错误率上升。那么，为什么看似有效的教学设计，教学效果却不能令人满意，经过反复的思考，笔者认为在以下两个方面可以作改进：　　

1、教学设计结构，我们知道，学生对乘法分配律的理解障碍主要表现在容易和乘法结合律混淆。一般来说，两种容易混淆的事物我们常常通过充分的联系比较才能把握两者的实质性区别。反观本次教学过程，乘法结合律虽然出现在课始与课末两个阶段，但在课始的复习只是简单的回忆，并未对后续学习产生实质性影响，只有“温故”而没有“知新”。同样的道理，课末两者比较看似有利于促进学生对新旧知识的理解，但由于学习过程中两个定律一直处于脱离状态，当学生忽然发现原来两者还有着某种联系时，出现那种“清者自清，浊者更浊”的现象也就不足为奇。笔者认为，这正是由于本课在教学设计时未能充分把握乘法分配律和乘法结合律的内在关系，未能发挥乘法结合律在新知学习中的特殊作用所致。　　

2、运算意义理解。观察本课教学过程，教师通过问题情境引出体现乘法分配律特点的算式，并通过“你是怎么想的”引导学生将计算的每一步含义与现实情境一一对应，从而理解乘法分配律的算理。但细细思考可以发现，教师在此并没有引导学生对运算意义的理解作出更细致深人的指导，比如：(58＋42)×3和58×3+42×3中“　3”　的含义相同吗?为什么不能写成58＋42×3，而且，在此后的教学过程中，教师显然已经将侧重点转移到观察算式的外在形式而淡化了内在算理的继续阐释。对学生来说，笼统地让其解释列式的想法并不能有效理解算式结构变化与运算意义之间的对应关系。正是缺少了对内在运算意义的引导，学生的注意力就容易指向算式的形式结构变化，而表现形式的简单记忆就如搭在一堆流沙上的建筑，稍加干扰立刻散架，甚至无法复原。笔者认为，从运算意义的角度对各个运算定律作出比较与建立联系，实际上就是运用已有知识对新知的解释过程，同时也是已有知识的重构扩展过程，如此乘法分配律才能真正内化到学生的认知结构中。　　

带着这样的教学思考，笔者重新进行了教学设计，作为本课的一次新教学尝试，求教于同行。　　

一、引入。　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1、出示25×(4×2)，问：如果25表示每壶油25元．那么这个算式的每一步计算可能表示什么?(结合学生发言画出示意图)　　

2、如果去掉括号，25×4×2每一步表示什么？　　

结合学生的发言，板书：25×4×2=25×(4×2)。　　

3、小结：在乘法结合律中，什么变了，什么没有变？　　

4、如果我们将25×(4×2)括号中的乘号改成加号，那么在这个算式中，4十2表示的含义与4×2一样吗？　　

二、展开。　　

　　　　　　1、为什么4＋2表示6壶．而不能表示为6葙呢?4×2与4＋2中的“　2”　为什么套有不同的含义?(4×2表示2个4壶，2就是2箱的意思；而4＋2中由于只有相同单住的数才能相加，因此4和2只能是壶数。这里最关犍的就是引导学生从乘法意义和加法意义的角度解释数与教之间的关系)根据学生的回答画出示意图。　　

2、小结：虽然只是改了一个小小的运算符号，却改变了4和2之间的关系。特别是2的意思完全不同。　　

3、如果25×(4＋2)去掉括号——25×4＋2，又会发生什么变化呢?引导学生从数与数之间的关系进行比较解释。　　

4、看来要保持计算结果不变．这个括号真的没有办法去掉！　　

5、那盆25×(4＋2)去掉括号应写成什幺呢?请学生在纸上写一写，并向同学解释为什幺这样写。　　

6讨论交流：同样是去括号，为什么在25×(4+2)-25×4+25×2中25出现了两次，而在25×(4×2)=25×4×2中25只用了一班?25×(4+2)为什么要去括号转化为25x4+25x2来计算：　　

7、小结：比较25×(4+2)与25×4+25×2，什么变了?什么没变？ 8、出示6×24×2和(6十24)×2，在这里，如果6表示每盒铅笔　　

6支的话，那么24和2分别表示什么?为什么24在两个算式中表示的　　

含义是不同的?(根据情部画出直观图)这两个算式还可以用其他方式计算吗？　　

三、概括。　　

1、观察思考：前面这些算式在计算中什么变了，什么没变?为什么可以这样变化?　　

2、用自己的话说说算式的特点．再用自己喜欢的符号表达出采。　　

3、反馈交流，揭示概念，阅读书本。　　

四、练习。　　

1、在横线上填上恰当的运算符号或教。　　

(1)56×7+56×13=( )× 　　

(2)(7 13)×56=7×(13×56)　　

讨论：①为什么这样想?能用实际事例来说明吗？　　

②观察这堂课研党的几个算式，怎么算更简便？　　

2、配套作业本练习。　　

课后反思　　

上述教学流程淡化了对算式外在彤式变化的关注，而侧重于从理解运算意义的角度，在乘法分配律和乘法结合律的比较联系中把握乘法分配律的奉质特点。为此，在教学策略运用上有如下三个特点：　　

1、学习线索的交互性。一方面，学习薪知一直与叫顾旧知保持紧密联系，即乘法结合律在本课教学中自始自终扮演着“对照”角色。课始由乘法结合律的特点和内在意义引出乘法分配律．课中乘法分配律与乘法结合律进行反复的对比，课末从形式结构上比较眄者．并以具体事例予以解释，整节课学生的思维一直在两条定律之间不断地转换。如果说乘法分配律的学习是一条明线的话，那么乘法结合律的再学习就是条暗线，而教学就在这两条明暗线索的交错中前行。另一方　　

亩+在研究的策略上突出从模型建构的角度理解运算意义——学习主线索，而并不过多地强调对外在形式结构变化的简单记忆——学习副线索。在教学的各个环节．无论算式的外在形式怎样改变．学生的思维始终围绕着运算意义的理解展开。在解释交流的过程中，随着两个定律的非奉质属性被不断剔除，其本质属性就得以凸现，而算式外在彤式的变化特点，在意义解释赋予过程中自然而然地逐渐被纳入个体的认知结构中。　　

2、学习材料的结构性。本课选取的情境材料只有一个，似乎有不够丰富之嫌。但笔者认为．情境材料是否“丰富”并不在于其数量的多少，而在于情境材料是否有利于学生清晰长久地储存．井能顺利地提取与运用．从而使情境材料成为有意义的个体认知。在奉课的学习中，一些学困生列式错误又不知错在何处时，只要提醒他举个例于说明(更困难的学乍就直接提示他用“买油”的例子说明)，这些学生一般都能通过意义表述发现自己的错误。，而在以往的教学中，由于情境过多，这样的学生往往会最得无所适从。从另一角度看，本课选取的情境材料是买油．似乎又有不够“实际”之嫌。笔者认为，情境材料　　

是否“现实”不在于其一定要与学生生活经验贴得多么近，而在于情境材料是否有利于学生将生活原型抽象成数学模型，以及这一抽象过程为学生的学习提供怎样的支撑。本课选取的买油情境不仅有利于学生构建简洁形象的直观模型，而且便于学生对乘法分配律与乘法结合律的意义解释。比如在后面的练习课中有这样一题：25×48×125，错误率一般都比较高，如何解释25×48×125=25×6×8×125？教师只要稍加提示，不秒学生就能表述：25×48×125就是每壶油25元，48壶装一箱，125箱要多少钱?现在由于48壶一箱太大了，把一大箱分成8小箱，每小箱装6壶，这样就比较方便。显然这样的情境解释未必是现宴的．但这已经不重要了．重要的是“买油”这一情境材料已经在学生头脑中固定为一种直观模型并被结构化，能够有效提取成为其解释知识意义的工具。可见，学习材料并不是越现实越好．也不是越熟悉越好，关键是把握现实生活与抽象模型、儿童思维与学科逻辑的平衡点。此外，需要特别提出的是：在学习中．一旦学生的思维被某种错误的东西占据或扰乱，要想重新建立新的模型就极为费力和困难。　　

3、教师提问的适切性。一堂课中学习线索、学习材料都已经确定．效果如何还要看教师提问设计得怎么样。本课中笔者设计了一挂串的提问．这一问题串始终都在引导学生同绕着运算意义展开思考。比如引人环节中提问：如果去掉括号，25×4×2每一步表示什么?4+2表示的含义与4×2一样吗?这些问题让学生从运算意义的角度解释算式的形式变化。展开环节中提问：为什么4＋2表示6壶，而不能表示为6箱呢?4×2与4+2中的“　2”　为什么会有不同的含义?这些问题希望通过引导学生从乘法和加法意义的角度解释数与数之间的关系，为学生把握乘法分配律和乘法结合律的内在本质奠定基础。接下来的一连串问题则都与小括号有关：如果25×(4+2)去掉括号——25×4+2，又会发生什么变化呢?同样是去括号，为什么在25×(4+2)=25×4＋25×2中25出现了两次，在25×(4×2)=25×4×2中25只用了一次?……这些问题的着眼点在于外部形式的变化，而着力点则是让学生借助构建直观模型解释“是什么”和“为什么”，进而深刻把握定律的运算意义。可以说，所有这些提问都努力体现这样的教学理念：只有从运算意义的角度追根溯源、深入思考，才能真正把握定律的内在实质；只有植根于定律的意义理解，对算式结构特点的把握才能水到渠成。